¡¡que interesantes son los numeros!!

Señoras y Señores, pasen, las puertas estan abiertas, lean y disfruten de la demostracion matematica del siguiente enunciado: Todo número natural ES interesante, mediante el metodo de reduccion al absurdo, explicada por el Prof. Adrian Paenza

Dice así:

Voy a probar ahora que todos los números naturales son números "interesantes". Claro, la primera pregunta que surge es: ¿qué quiere decir que un número sea interesante?

Vamos a decir que un número lo es, cuando tiene algún atractivo, algo que lo distinga, algo que merezca destacarlo de los otros, que tenga algún borde o alguna particularidad.

Creo que todos entendemos ahora lo que quiero decir con interesante. Ahora, la demostración.

El número uno es interesante porque es el primero de todos. Lo distingue entonces el hecho de ser el más chico de todos los números naturales. El número dos es interesante por varias razones: es el primer número par, es el primer número primo. Creo que con estos dos argumentos ya podemos distinguirlo. El número tres también es interesante, porque es el primer número impar que es primo (por elegir una razón de las muchas que habría). El número cuatro es interesante porque es una potencia de dos. El número cinco es interesante porque es un número primo. Y de aquí en adelante deberíamos ponemos de acuerdo en que cuando un número es primo, ya tiene una característica fuerte que lo distingue y lo podíamos considerar interesante sin buscar otros argumentos. Sigamos un poco más. El número seis es interesante porque es el primer número compuesto (o sea, no es un número primo) que no sea una potencia de dos. Recuerde que el primer número compuesto que apareció es el cuatro, pero es una potencia de dos. El número siete es interesante, y no hace falta argumentar más porque es primo. Y así podríamos seguir. Lo que quiero probar con ustedes es que:

"Dado un número entero positivo cualquiera, siempre... siempre... hay algo que lo transforma en “interesante” o "atractivo” o “distinguible".

¿Cómo hacer para probar esto con todos los números, si son infinitos? Supongamos que no fuera así. Entonces, eso quiere decir que hay números que llamaremos no interesantes. A esos números los ponemos en una bolsa (y supondremos que esta bolsa no está vacía). Es decir, tenemos una bolsa llena de números no interesantes. Vamos a ver que esto nos lleva a una contradicción. Esa bolsa, como todos los números que contiene son números naturales, o sea, enteros positivos, tiene que tener un primer elemento. Es decir, un número que sea el menor de todos los que están en la bolsa. Pero entonces, el supuesto primer número no interesante se transforma en interesante. El hecho que lo distingue es que sea el primero de todos los números no interesantes, una razón más que suficiente para declararlo interesante. ¿No les parece? El error, entonces, provino de haber pensado que había números no interesantes. No es así. Esa bolsa (la de los números no interesantes) no puede contener elementos, porque si los tiene, alguno tiene que ser el primero, con lo que pasada a ser interesante un número que por estar en la bolsa debería ser no interesante.



Y asi queda demostrado para cualquier numero natural.


Aclaracion: Reducción al absurdo es un metodo de demostracion donde se afirma la hipotesis y al negar lo que queremos probar, mediante una cadena logica, llegamos a un resultado contradictorio.

En palabras de G. H. Hardy, "La Reducción al absurdo, que Euclides tanto amaba, es una de las mejores armas de la matemática. Es mucho mejor gambito que cualquiera de los del ajedrez: un jugador de ajedrez puede ofrecer el sacrificio de un peón u otra pieza, pero un matemático ofrece la partida

2 comentarios:

Samuelillo dijo...

Si un elemento de un conjunto (donde hay definida una relación de orden entre sus elementos) es tal que por ser el primero no pertenece al conjunto, tal conjunto es vacio.
Dicho de otro modo, si definimos los elementos de un conjunto ordenado como aquellos que pertenecen al conjunto excepto si es el primero, estamos dando una definicion camuflada de conjunto vacio.
La definicion por intensión del conjunto tiene extensión nula.

Creamos asi un conjunto que supuestamente tiene elementos, pero no los tiene. Decimos el conjunto de los elementos que verifican A (es vacio, aunque camufladamente) y luego concluimos que A es vacio (que lo era por construccion); luego concluimos que todos los elementos de A deben verificar no A.
Hay una trampa: Tener un conjunto ordenado y no tener elemento primero es una contradición.

Luego los numeros naturales son interesantes (como minimo) por ser ordenados.(Todo numero natural es el primero de numeros posteriores a él).

Sutil e ingenioso.

Un saludo.

Juan José Sosa dijo...

sumamente interesante, :0)