¿pensamos juntos?

Otra vez, el Dr Adrian Paenza, nos muestra un ejemplo bien real de la matematica que no esta alejada del mundo real, y sobre todo, que se puede hacer matematica sin la necesidad de recurrir a formulas de las cuales se pierde el sentido, uno no puede tener el control de lo que hace...

El problema de las patentes. Un problema de Tecnicas de conteo, Combinatoria.

"El grosero error de cálculo"

En la Argentina, hasta hace algunos años, los autos tenían en las “chapas patentes” que los identificaban una combinación de una letra y luego seis o siete números.

La letra se utilizaba para distinguir la provincia. El número que seguía identificaba el auto. Por ejemplo, una “chapa patente” de un auto radicado en la provincia de Córdoba era así:

X357892

Y uno de la provincia de San Juan,

J243781

Los de la provincia de Buenos Aires y los de la Capital Federal comenzaron a presentar un problema. Como el parque automotor superaba el millón de vehículos, se utilizaba –aparte de la letra B para Buenos Aires y C para la Capital– un número que ahora consistía de siete dígitos. Por ejemplo, se podían ver por la calle autos con patentes como éstas:

B1793852

O bien:

C1007253

Es decir, se necesitaba “empequeñecer” al número después de la letra (que indicaba a “qué millón” pertenecía el auto) porque ya no había más espacio disponible.

Toda esta introducción es para presentar la “solución” (?) que se encontró... y el ERROR GROSERO que se cometió. La idea fue cambiar todo el sistema de patentamiento de vehículos del país y utilizar tres letras y tres dígitos.

La idea era conservar la primera letra como identificatoria de la provincia y aprovechar que, como el número de letras en el alfabeto es mayor que el número de dígitos, se tendría la cantidad deseada de “patentes” para resolver el problema.

Por ejemplo patentes posibles serían:

NDC 378

O bien:

XEE 599

Ahora bien. Estaba todo listo para empezar el “re-patentamiento”, cuando apareció un problema. Pero antes de exhibir cuál fue, quiero invitarlo a pensar (conmigo) cuántas patentes se pueden escribir de esa forma.

Piense en la información que viene en una “chapa patente”: se tienen tres letras y tres números.
Pero como se pretendía que la primera letra estuviera fija para cada provincia, en realidad, hay SOLAMENTE dos letras y tres números con los que “jugar”.

El alfabeto castellano, excluyendo la letra “ñ”, tiene veintiséis letras. ¿Cómo hacer para contar los pares diferentes que se pueden formar? En lugar de mirar la respuesta que yo voy a escribir más abajo, piense (un poco) sola/o.

Una ayuda: los pares podrían ser

AA, AB, AC, AD, AE, AF, ...., AX, AY, AZ

(o sea, hay 26 que empiezan con la letra A). Luego, seguirían (si los pensamos ordenadamente)

BA, BB, BC, BD, BE, .... , BX, BY, BZ

(otra vez veintiséis, que son los que empiezan con la letra B).

Podríamos ahora escribir los que empiezan con la letra C y tendríamos otros veintiséis. Y así siguiendo. Entonces, por cada letra para empezar, tenemos 26 posibilidades para aparear. O sea, hay en total, 26 x 26 = 676 pares de letras.

Ahora bien. Ya hemos contabilizado todas las combinaciones posibles de tres letras. La primera identifica la provincia, y para las dos siguientes tenemos 676 posibilidades.
Ahora, nos falta “contar” cuántas posibilidades tenemos para los tres números. Pero esto es más fácil. ¿Cuántas ternas se pueden formar con tres números? Si uno empieza con la terna

000

y sigue, 001, 002, 003,... hasta llegar a 997, 998, 999... el total es entonces 1000 (mil) (¿entiende por qué es mil y no 999?) (si quiere pensar sola/o, mejor. Si no, piense que las ternas comienzan en el “triple cero”).

Bien. Ya tenemos todas las herramientas que necesitamos.

Cada provincia (luego, eso fija la primera letra) tiene 676 posibilidades para las letras y 1000 posibilidades para las ternas de números.

En total, entonces, hay ¡¡676.000!! combinaciones. Como usted advierte, este número hubiera sido suficiente para algunas provincias de la Argentina, pero no para las más pobladas, y mucho menos con la idea de resolver el problema que había originado todo el cambio.

¿Qué solución encontraron entonces, luego de haber hecho la campaña para “modernizar” el patentamiento y “actualizar” la base de datos del parque automotor?

Tuvieron que “liberar” la primera letra. En ese caso, cuando ya no hay restricción para la primera letra (que no necesita estar asociada a una provincia) hay entonces 26 posibilidades más para cada una de las 676.000 combinaciones de los “cinco” lugares restantes (las dos letras y los tres dígitos).

(Para entender esto: tome una de las 676.000 combinaciones posibles. Agrégueles la letra A al principio. Ahora, tome las mismas 676.000 y agrégueles la letra B al principio. Como se ve, ahora uno ha duplicado el número de “patentes”. Si uno ahora agrega la letra C al principio, triplica el número. Si sigue con este proceso y va utilizando cada una de las 26 letras del alfabeto, encuentra que ha multiplicado por 26 las posibilidades que tenía antes.)

Luego, el número total es

26 x 676.000 = 17.576.000

Ahora sí, con más de 17 millones de “chapas patentes” disponibles, no hay más conflictos..., al menos, en el futuro inmediato (dentro de cinco años, hablamos nuevamente). Pero lo peor es que ya no se sabe a qué provincia pertenece cada auto (como se pretendía en un principio). Por último: ¿hubo algún responsable de un error tan grosero? ¿Quiénes fueron los que hicieron las cálculos iniciales que ocasionaron semejante aberración?

fuente: http://www.pagina12.com.ar/diario/contratapa/index-2007-07-05.html